多边形面积符号怎样反映顶点绕行方向：八组凹边界的绕行方向与面积·练习22

地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框13×12，凹口宽5、深10，平移[9, 1]，顶点[[9, 13], [14, 13], [14, 3], [19, 3], [19, 13], [22, 13], [22, 1], [9, 1]]。逐边交叉差[-65, -140, -15, 190, -39, -264, 13, 108]，合计-212，带符号面积-106，倒序为106，实际面积106。

第2组外框9×8，凹口宽4、深7，平移[-9, 8]，顶点[[-9, 16], [-6, 16], [-6, 9], [-2, 9], [-2, 16], [0, 16], [0, 8], [-9, 8]]。逐边交叉差[-48, 42, -36, -14, -32, 0, 72, -72]，合计-88，带符号面积-44，倒序为44，实际面积44。

第3组外框7×5，凹口宽3、深1，平移[4, -8]，顶点[[4, -8], [11, -8], [11, -3], [9, -3], [9, -4], [6, -4], [6, -3], [4, -3]]。逐边交叉差[56, 55, -6, -9, -12, 6, -6, -20]，合计64，带符号面积32，倒序为-32，实际面积32。

第4组外框9×12，凹口宽6、深1，平移[-5, -4]，顶点[[-5, -4], [4, -4], [4, 8], [3, 8], [3, 7], [-3, 7], [-3, 8], [-5, 8]]。逐边交叉差[36, 48, 8, -3, 42, -3, 16, 60]，合计204，带符号面积102，倒序为-102，实际面积102。

第5组外框12×5，凹口宽2、深3，平移[-4, 5]，顶点[[-4, 5], [8, 5], [8, 10], [3, 10], [3, 7], [1, 7], [1, 10], [-4, 10]]。逐边交叉差[-60, 40, 50, -9, 14, 3, 50, 20]，合计108，带符号面积54，倒序为-54，实际面积54。

第6组外框14×8，凹口宽1、深1，平移[-7, 8]，顶点[[-7, 8], [7, 8], [7, 16], [-1, 16], [-1, 15], [-2, 15], [-2, 16], [-7, 16]]。逐边交叉差[-112, 56, 128, 1, 15, -2, 80, 56]，合计222，带符号面积111，倒序为-111，实际面积111。

第7组外框7×8，凹口宽5、深2，平移[1, 2]，顶点[[1, 10], [2, 10], [2, 8], [7, 8], [7, 10], [8, 10], [8, 2], [1, 2]]。逐边交叉差[-10, -4, -40, 14, -10, -64, 14, 8]，合计-92，带符号面积-46，倒序为46，实际面积46。

第8组外框9×7，凹口宽2、深5，平移[1, 4]，顶点[[1, 11], [7, 11], [7, 6], [9, 6], [9, 11], [10, 11], [10, 4], [1, 4]]。逐边交叉差[-66, -35, -12, 45, -11, -70, 36, 7]，合计-106，带符号面积-53，倒序为53，实际面积53。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。