绕不同坐标轴旋转时为什么顺序不能交换：独立算例22

角色或道具连续绕不同轴旋转时，即使两次转角都不变，先后顺序不同也可能让最终朝向不同。这个差异来自变换的组合方式，不是坐标显示出现了误差。

规则与边界

本例在固定世界坐标轴上进行主动旋转。绕X轴保留x，更新y为cy减sz、z为sy加cz；绕Y轴更新x为cx加sz、z为负sx加cz；绕Z轴更新x为cx减sy、y为sx加cy。c和s满足平方和为一，输入直接给出精确分数。

本例记录

旋转A绕Y轴，余弦正弦为['-12/13', '5/13']；旋转B绕X轴，余弦正弦为['3/5', '4/5']。

原向量 | 先A中间值 | 先A再B | 先B中间值 | 先B再A [-7, -1, 5] | ['109/13', '-1', '-25/13'] | ['109/13', '61/65', '-127/65'] | ['-7', '-23/5', '11/5'] | ['95/13', '-23/5', '43/65'] [7, -4, -3] | ['-99/13', '-4', '1/13'] | ['-99/13', '-32/13', '-41/13'] | ['7', '0', '-5'] | ['-109/13', '0', '25/13'] [-2, -7, -5] | ['-1/13', '-7', '70/13'] | ['-1/13', '-553/65', '-154/65'] | ['-2', '-1/5', '-43/5'] | ['-19/13', '-1/5', '566/65'] [6, 3, 2] | ['-62/13', '3', '-54/13'] | ['-62/13', '333/65', '-6/65'] | ['6', '1/5', '18/5'] | ['-54/13', '1/5', '-366/65'] [0, -7, -5] | ['-25/13', '-7', '60/13'] | ['-25/13', '-513/65', '-184/65'] | ['0', '-1/5', '-43/5'] | ['-43/13', '-1/5', '516/65'] [-2, 7, 6] | ['54/13', '7', '-62/13'] | ['54/13', '521/65', '178/65'] | ['-2', '-3/5', '46/5'] | ['70/13', '-3/5', '-502/65']

表中编号只标记本例对象，不表示排名或另一组数据中的身份。先确认输入单位与边界约定，再逐步核对中间值。零、空结果和不存在是不同状态，不能因为显示相近就互相替代；分数用精确形式保留，便于重新演算。

复核方法

对同一向量分别先做A再做B，以及先B再A，比较最终坐标。每条路径都应保持向量长度；把旋转按相反顺序、相反正弦执行，应回到原输入。顺序可交换的特殊情况不代表一般情况下都可交换。

挑选不在旋转轴上的向量更容易看出差别，再同时比较几个方向，避免只用恰好保持不动的特例下结论。实际动画系统中还应明确向量放在矩阵左边还是右边，本例用逐分量公式直接定义行为，省去那些存储布局歧义。

能说明什么

这里明确使用固定世界轴，没有切换成物体自身不断改变的局部轴。两套约定的乘法解释不同，不能只看相同的轴名称就混用。所有旋转绕原点，不含平移、非均匀缩放或投影。

这份记录用于理解明确规则下的游戏机制。改变输入后，结果也应随之重新计算；若操作规则不同，应先把新规则写清再比较。可以从一两个步骤手算开始，找出第一处差异，而不是只对照最后一个数值。全部中间记录都属于当前案例，不能直接当成其他场景的固定答案。